Деление с нулями

Деление на числа, оканчивающиеся нулями — Математика 4 класс (Моро) Краткое описание: В начале изучения темы «Деление на числа, оканчивающие нулями» вы познакомитесь с разными способами деления числа на произведение. Таких способов три. Первый – найти сначала произведение, потом разделить на него число. Способ второй – разделить число на первый множитель, полученный результат разделить на второй множитель. Не трудно догадаться, каким будет третий способ – разделить число на второй множитель, а затем то, что получилось разделить на первый множитель. Среди этих трех способов для решения конкретных примеров только один будет наиболее удобен. Например, число 240 нужно разделить на произведение чисел 6 и 10. Для нахождения значения этого числового выражения удобнее сначала разделить 240 на первый множитель 6, получится 40, а затем полученный результат разделить на 10, получится 4. Этот способ деления числа на произведение можно использовать при решении примеров на деление на числа, оканчивающие нулями. Так, если нужно 1800 разделить на 200, то сначала нужно 200 разложить на два множителя: 2 и 100. Затем нужно разделить 1800 на 2, получится 800 и полученный результат разделить на 100, получится 8. Изучая тему «Деление на числа, оканчивающие нулями», вы научитесь решать примеры на деление с остатком на числа, оканчивающиеся нулями. Причем, вы сможете делать это, используя и устные и письменные приемы вычислений. В завершение изучения темы вы сможете научиться делить любое число на числа, оканчивающиеся нулями.

В этой статье мы разберем такое важное действие с десятичными дробями, как деление. Сначала сформулируем общие принципы, затем разберем, как правильно выполнять деление десятичных дробей столбиком как на другие дроби, так и на натуральные числа. Далее мы разберем деление обыкновенных дробей на десятичные и наоборот, а в конце посмотрим, как правильно выполнять деление дробей, заканчивающихся на 0,1, 0,01, 100, 10 и др.

Здесь мы возьмем только случаи с положительными дробями. Если же перед дробью стоит минус, то для действия с ней нужно изучить материал о делении рациональных и действительных чисел.

Основы деления десятичных дробей

Все десятичные дроби, как конечные, так и периодические, представляют из себя всего лишь особую форму записи обыкновенных дробей. Следовательно, на них распространяются те же принципы, что и на соответствующие им обыкновенные дроби. Таким образом, весь процесс деления десятичных дробей мы сводим к замене их на обыкновенные с последующим вычислением уже известными нам способами. Возьмем конкретный пример.

Пример 1

Разделите 1,2 на 0,48.

Решение

Запишем десятичные дроби в виде обыкновенных. У нас получится:

1,2=1210=65

0,48=48100=1225.

Таким образом, нам надо разделить 65 на 1225. Считаем:

1,2:0,48=62:1225=65·2512=6·255·12=52

Из получившейся в итоге неправильной дроби можно выделить целую часть и получить смешанное число 212, а можно представить ее в виде десятичной дроби, чтобы она соответствовала исходным цифрам: 52=2,5. О том, как это сделать, мы уже писали ранее.

Ответ: 1,2:0,48=2,5.

Пример 2

Посчитайте, сколько будет 0,(504)0,56.

Решение

Для начала нам нужно перевести периодическую десятичную дробь в обыкновенную.

0,(504)=0,5041-0,001=0,5040,999=504999=56111

После этого конечную десятичную дробь также переведем в другой вид: 0,56=56100. Теперь у нас есть два числа, с которыми нам будет легко провести необходимые вычисления:

0,(504):1,11=56111:56100=56111·10056=100111

У нас получился результат, который мы также можем перевести в десятичный вид. Для этого разделим числитель на знаменатель, используя метод столбика:

Ответ: 0,(504):0,56=0,(900).

Если же в примере на деление нам встретились непериодические десятичные дроби, то мы будем действовать немного иначе. Мы не можем их привести к привычным обыкновенным дробям, поэтому при делении приходится предварительно округлять их до определенного разряда. Это действие должно быть выполнено как с делимым, так и с делителем: имеющуюся конечную или периодическую дробь в интересах точности мы тоже будем округлять.

Пример 3

Найдите, сколько будет 0,779…/1,5602.

Решение

Первым делом мы округляем обе дроби до сотых. Так мы переходим от бесконечных непериодических дробей к конечным десятичным:

0,779…≈0,78

1,5602≈1,56

Можем продолжить подсчеты и получить примерный результат: 0,779…:1,5602≈0,78:1,56=78100:156100=78100·100156=78156=12=0,5.

Точность результата будет зависеть от степени округления.

Ответ: 0,779…:1,5602≈0,5.

Как разделить натуральное число на десятичную дробь и наоборот

Подход к делению в этом случае практически аналогичен: конечные и периодические дроби заменяем обыкновенными, а бесконечные непериодические округляем. Возьмем для начала пример деления с натуральным числом и десятичной дробью.

Пример 4

Разделите 2,5 на 45.

Решение

Приведем 2,5 к виду обыкновенной дроби: 25510=512. Далее нам надо просто разделить ее на натуральное число. Делать это мы уже умеем:

25,5:45=512:45=512·145=1730

Если перевести результат в десятичную запись, то мы получим 0,5 (6).

Ответ: 25,5:45=0,5(6).

Как разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком

Метод деления столбиком хорош не только для натуральных чисел. По аналогии мы можем использовать его и для дробей. Ниже мы укажем последовательность действий, которую нужно для этого осуществить.

Определение 1

Для деления столбиком десятичных дробей на натуральные числа необходимо:

1. Добавить к десятичной дроби справа несколько нулей (для деления мы можем добавлять любое их количество, которое нам необходимо).

2. Разделить столбиком десятичную дробь на натуральное число, используя алгоритм. Когда деление целой части дроби подойдет к концу, мы ставим запятую в получившемся частном и считаем дальше.

Результатом такого деления может стать как конечная, так и бесконечная периодическая десятичная дробь. Это зависит от остатка: если он нулевой, то результат окажется конечным, а если остатки начнут повторяться, то ответом будет периодическая дробь.

Возьмем для примера несколько задач и попробуем выполнить эти шаги уже с конкретными числами.

Пример 5

Вычислите, сколько будет 65,144.

Решение

Используем метод столбика. Для этого допишем к дроби два нуля и получим десятичную дробь 65,1400, которая будет равна исходной. Теперь пишем столбик для деления на 4:

Полученное число и будет нужным нам результатом деления целой части. Ставим запятую, отделяя ее, и продолжаем:

Мы добрались до нулевого остатка, следовательно, процесс деления завершен.

Ответ: 65,14:4=16,285.

Слишком сложно? Не парься, мы поможем разобраться и подарим скидку 10% на любую работу Опиши задание Пример 6

Разделите 164,5 на 27.

Решение

Делим сначала дробную часть и получаем:

Отделяем полученную цифру запятой и продолжаем делить:

Мы видим, что остатки стали периодически повторяться, и в частном стали чередоваться цифры девять, два и пять. На этом мы остановимся и запишем ответ в виде периодической дроби 6,0(925).

Ответ: 164,5:27=6,0(925).

Как разделить столбиком одну десятичную дробь на другую

Такое деление можно свести к уже описанному выше процессу нахождения частного десятичной дроби и натурального числа. Для этого нам потребуется умножить делимое и делитель на 10, 100 и др. так, чтобы делитель превратился в натуральное число. Дальше выполняем описанную выше последовательность действий. Такой подход возможен благодаря свойствам деления и умножения. В буквенном виде мы записывали их так:

a:b=(a·10):(b·10), a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Сформулируем правило:

Определение 2

Для деления одной конечной десятичной дроби на другую необходимо:

1. Перенести запятую в делимом и делителе вправо на то количество знаков, которое необходимо для превращения делителя в натуральное число. Если в делимом не хватит знаков, допишем в него нули с правой стороны.

2. После этого делим дробь столбиком на получившееся натуральное число.

Разберем конкретную задачу.

Пример 7

Разделите 7,287 на 2,1.

Решение: Чтобы делитель стал натуральным числом, нам надо перенести запятую на один знак вправо. Так мы перешли к делению десятичной дроби 72,87 на 21. Запишем полученные числа столбиком и вычислим

Ответ: 7,287:2,1=3,47

Пример 8

Вычислите 16,30,021.

Решение

Нам придется переносить запятую на три знака. В делителе для этого не хватит цифр, значит, нужно воспользоваться дополнительными нулями. Считаем, что получится в итоге:

Ответ: 16,3:0,021=776,(190476)​​​​​​

Описанный нами метод позволяет делать и наоборот, то есть делить натуральное число на конечную десятичную дробь. Посмотрим, как это делается.

Пример 9

Подсчитайте, сколько будет 3 5,4.

Решение

Очевидно, что нам придется перенести запятую вправо на один знак. После этого мы можем приступить к делению 30,0 на 54. Запишем данные столбиком и вычислим результат:

Повторение остатка дает нам в итоге число 0,(5), которое является периодической десятичной дробью.

Ответ: 3:5,4=0,(5).

Как разделить десятичные дроби на 1000, 100, 10 и др.

Согласно уже изученным правилам деления обыкновенных дробей, деление дроби на десятки, сотни, тысячи аналогично ее умножению на 1/1000, 1/100, 1/10 и др. Получается, чтобы выполнить деление, в данном случае достаточно просто перенести запятую на нужное количество цифр. Если значений в числе не хватит для переноса, нужно дописать нужное количество нулей.

Пример 10

Так, 56,21:10=5,621, а 0,32:100 000=0,0000032.

В случае с бесконечными десятичными дробями мы поступаем таким же образом.

Пример 11

Например, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374….

Как разделить десятичные дроби на 0,001, 0,01, 0,1 и др.

Воспользовавшись тем же правилом, мы можем так же разделить дроби на указанные значения. Это действие будет аналогично умножению на 1000, 100, 10 соответственно. Для этого мы переносим запятую на одну, две или три цифры в зависимости от условий задачи и дописываем нули, если цифр в числе окажется недостаточно.

Пример 12

К примеру, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000.

Это правило действует и в случае с бесконечными десятичными дробями. Советуем только быть внимательными с периодом дроби, которая получается в ответе.

Если же у нас в примере непериодические дроби, то все обстоит проще: 394,38283…:0,001=394382,83….

Как разделить смешанное число или обыкновенную дробь на десятичную и наоборот

Это действие мы также сводим к операциям с обыкновенными дробями. Для этого надо заменить десятичные числа соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число записать в виде неправильной дроби.

Если мы делим непериодическую дробь на обыкновенную либо на смешанное число, нужно поступить наоборот, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей им десятичной дробью.

Всё ещё сложно? Наши эксперты помогут разобраться

Деление десятичных дробей открывает огромные просторы в плане вычислений. Только приобретя навыки деления десятичных дробей в рамках математики 5 класса, ученик может осознать, что практически любое число можно разделить без остатка. Разберемся в теме подробнее.

Деление с целыми числами

Делить можно как целое число на десятичную дробь, так и наоборот.

При делении обязательно нужно учитывать, в каком виде необходимо получить результат: в дробном или десятичном. Иначе говоря, можно получить результат, который записывается в строчку, а можно получить дробь.

Рассмотрим оба варианта для начала с целыми числами.

Чтобы получить дробь в качестве результата деления нужно делитель и делимое представить в виде дроби. Разделим 18 на 1,9

Что такое 18? Это дробь ${18\over{1}}$. Соответственно $1,9={19\over{10}}$

При делении дробей дробь-делитель переворачивается, и получившиеся дроби перемножаются.

$${18\over{1}}:{19\over{10}}={18\over{1}}:{10\over{19}}={180\over{19}}$$ – при желании получившуюся дробь можно привести в десятичный вид.

В дробях черта означает знак деления. Это важно знать, так как это свойство очень часто используется при преобразованиях и вычислениях

Для деления в столбик нужно учесть, что как только останется неделимый остаток, нужно поставить запятую и дописать столько нулей, сколько необходимо для продолжения процедуры деления. Конкретно данное число получится бесконечным, но об этом речь пойдет немного позже.

Что делать, если необходимо поделить целое число на десятичное, с получением конечного итога в виде правильной или неправильной десятичной дроби? Нужно помножить делимое и делить на 10 в такой степени, чтобы получились целые числа, и произвести деление. Эта процедура в математике называется перенесением запятой.

72:3,6=720:36=20 – если бы было 0,36, то домножить нужно было бы на 100 и так далее.

Для деления действует правило знаков умножения. Отрицательное число при делении на отрицательное дает положительный результат. Положительное на положительное – также положительное. А вот если разделить положительное на отрицательное или наоборот, то получится значение со знаком минус.

Не нужно пугаться больших результатов. Это нормально и даже более того – это правильно. При делении целого числа на дробное, при условии, что дробь была правильной, результат должен получится больше делимого. Под правильной дробью подразумевается дробь, которая меньше 1.

Деление с дробными числами

С дробными числами все обстоит примерно также. Главная проблема – это страх перед дробями. Если поделить целое число на дробное не кажется большой проблемой, то вот при делении дроби на дробь почему-то на учеников нападает иррациональный страх.

Чтобы его не было просто перенесите запятую.

$3,8:0,5=38:5$ – а дальше в действие вступают правила деления без остатка.

$$3,8:0,5=38:5=7,6$$

Если вдруг необходимый результат нужно записать в виде дроби, то процесс упрощается еще больше. В результате преобразований делимое переместится в числитель, а делитель в знаменатель. Смотрите внимательно за преобразованиями и не теряйте запятых:

Бесконечные числа

Иногда случаются неприятные ситуации, когда в результате расчетов получаются бесконечные числа. Таким называют число, количество знаков после запятой у которого бесконечно. Вспомним уже приведенный пример:

$18 : 1,9=180:19=9,473684…$- и так можно продолжать до бесконечности. К слову, иногда такие числа попадаются даже при точных вычислениях. Например, число пи, которое часто принимают за значение 3,14 на самом деле бесконечно. До конца его вычислить до сих пор не удалось. Более того, цифры после запятой у этого числа повторяются без определенных параметров, что является одной из загадок математики.

Что делать в этом случае? Записать дробью или, если это позволяет условие задачи, просто округлить

Если цифра перед округляемым значением меньше 5, то значение не меняется. Иначе – увеличивается на 1.

$18 : 1,9=180:19=9,473684…=9,47$ – чаще всего значения округляются до сотых.

Что мы узнали?

Мы узнали, как можно делить целые числа на десятичные дроби и дроби на дроби. Привели правило деления десятичных дробей. Вычислили несколько примеров и поговорили о примерах с бесконечным результатом.

Тест по теме

  1. Вопрос 1 из 10

    Можно ли делить десятичную дробь на целое число или целое число на десятичную дробь?

    • Да, можно
    • Нет, нельзя
    • Зависит от условий задачи
    • Не хватает данных для ответа

Начать тест(новая вкладка)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *